概念进阶概率论与随机变量
概率密度函数
也叫：PDF、概率函数、Probability Density Function
描述随机变量各取值及其对应概率的函数。
核心讲解
概率密度函数（PDF）用来描述一个随机变量所有可能取值及其对应的概率。对离散型随机变量，最简单直观的做法是列一张表，把每个取值与它的概率逐一列出；也可以写成函数 p(x)，例如X取值{1,2,3,4,5}、p(x)=x/15，则 P(X=3)=3/15=20%，且各 p(x) 非负、总和为1。
对连续型随机变量，取值不可列，无法逐点列出。这时改用密度函数 f(x)：f(x) 非负，它与横轴围成的总面积为1；而随机变量落在区间 [a,b] 内的概率，就等于 f(x) 在这一区间下方围成的面积。这里要特别注意，连续型的 f(x) 纵坐标本身不是概率，面积才是概率。
它与累积分布函数（CDF）关系密切。CDF F(x)=P(X≤x) 就是密度在 (−∞,x) 下方围成的面积，单调递增、上界为1、下界为0；离散型的CDF则呈阶梯状。
费曼版：用大白话再讲一遍
天气概率没法“点”着算——不能说“恰好21.000℃的概率是多少”。只能用一条高低起伏的曲线表示：曲线高的地方概率更密，某个温度范围的概率，等于曲线在这一段下方围成的面积。
要点
- PDF描述随机变量各取值及其概率。
- 离散型：p(x)逐点给概率，总和为1。
- 连续型：f(x)与横轴围成的面积为区间概率，总面积为1。
- CDF F(x)=P(X≤x) 即密度在(−∞,x)下方的面积。
- 连续型单点概率为0。
常见误区
- 把连续型 f(x) 的纵坐标当概率（其实面积才是概率）。
- 认为 f(x) 必须处处不超过1（连续型密度可以大于1）。
- 混淆概率密度函数与累积分布函数。
编者注
- 补充原书把离散型的描述函数也称作“概率密度函数（PDF）”。严格说，连续型的PDF全称是Probability Density Function，而离散型通常称为概率质量函数（PMF）或概率函数 p(x)。概念上记住：离散看逐点概率，连续看区间面积即可。