概念进阶概率论与随机变量
累积分布函数
也叫：CDF、累积概率函数、Cumulative Distribution Function
累积分布函数F(x)给出随机变量不超过x的概率。
核心讲解
累积分布函数记作F(x)，含义是随机变量X的取值不超过x的概率，即F(x)=P(X≤x)。它把“每个点或区间的概率”汇总成一条从0长到1的曲线，取值有界：x趋于负无穷时F为0，趋于正无穷时F为1；而且单调不减，x越大F越大。
离散型和连续型的F形态不同。离散型随机变量只在有限个点上有概率，F像一段段台阶，每级跳一次；连续型随机变量单点概率为0，F则是一条光滑上升的曲线。两者都由概率密度函数决定，但CDF更适合直接回答“不超过某值”这类问题。
CDF与PDF可以互相转换。连续型下F(x)是PDF从负无穷到x的积分，PDF则是F的斜率即导数；由此可得P(a<X≤b)=F(b)-F(a)。书中例题里X为1到5的离散均匀分布，F(3)=P(X≤3)=0.6，正是把1、2、3三点的概率累加起来。
费曼版：用大白话再讲一遍
想象学校统计考试成绩。老师不必在每张分数上贴标签，只要一路记下“考到几分以下的有多少人”。分数越低累计的人越多，到满分时全班都算进去，比例正好是100%。这条不断往上增加的曲线，就是累积分布函数。
要点
- F(x)=P(X≤x)，表示取值不超过x的累计概率。
- F有界且单调不减，x趋于负无穷为0、正无穷为1。
- 离散型F呈阶梯状，连续型F是光滑上升的曲线。
- 连续型下PDF积分得F，且P(a<X≤b)=F(b)-F(a)。
常见误区
- 把F(x)当成“取到某个单一值的概率”，那是P(X=x)而不是F(x)。
- 以为连续型随机变量的CDF会跳跃；跳跃是离散型的特征。
- 忘记F必须单调不减，随手写出会下降的“分布函数”。