概念进阶概率论与随机变量
期望
也叫：Expected Value、期望值、E(X)
以概率为权重，所有可能结果的加权平均。
核心讲解
随机变量在某一刻的取值并不确定，我们只知道可能的结果及其概率，没法用算术平均来刻画。一个自然的办法是“以概率为权重”求加权平均，这就是期望 E(X)。
举例：某彩票中奖概率20%、奖金2000元，不中奖奖金为0，那么不考虑成本时，期望收益=20%×2000+80%×0=400元。它与算术平均的区别是：期望按发生概率加权，算术平均则不加权。
期望有两条好用的性质：一、E(cX)=cE(X)；二、投资组合的期望收益，等于组合内各资产期望收益按占比加权。例：100万元中40万配债券（收益5%）、60万配股票（收益10%），组合期望收益=0.4×5%+0.6×10%=8%。
遇到多情景问题，就用 E(X)=Σ E(X|情景)P(情景)。例：繁荣、正常、衰退的概率为0.25、0.5、0.25，对应收益率为22%、8%、−10%，则期望收益=0.25×22%+0.5×8%+0.25×(−10%)=7%。
费曼版：用大白话再讲一遍
一枚灌了铅的骰子，某些点数更容易出现。想算“长期平均会掷出几点”，不能把6个数简单平均，而要按每个点数出现的可能性加权——这就是期望。
要点
- 期望=以概率为权重的加权平均，E(X)=Σ x·P(x)。
- 例：中奖概率20%、奖金2000元，期望为400元。
- 性质：E(cX)=cE(X)。
- 组合期望=各资产期望按占比加权。
- 多情景：E(X)=Σ E(X|情景)P(情景)。
常见误区
- 把期望当成“最可能出现的值”，其实它未必能真正取到。
- 对随机变量直接使用算术平均。
- 忘记权重是概率，而不是简单计数。