概念进阶概率论与随机变量
对数正态分布
也叫：Lognormal Distribution
ln(X)服从正态分布时X服从的分布，用于刻画价格。
核心讲解
若随机变量X取对数后ln(X)服从正态分布，则X服从对数正态分布。它的关键用途是描述资产价格：正态分布的取值可正可负，而股价不可能为负，对数正态分布恰好保证取值始终为正。
对数正态分布的概率密度函数是非负的，并且是正偏的，右尾更长。这符合价格的直觉：极端的大涨偶有发生，而价格不会跌破零。它常与正态分布分工使用——对数正态描述价格，正态描述收益率。
两者还有一层换算关系：若对数收益率服从正态分布，价格本身就是该收益率的指数，因而服从对数正态分布。考试也常以“已知X服从正态分布，则e^X服从对数正态分布”的形式出现，因为lne^X=X本身服从正态分布。
费曼版：用大白话再讲一遍
一瓶饮料的价格可以涨到很高，却永远不可能变成负数。把价格取个对数之后，涨跌看起来就像普通的对称波动；把这个对称波动还原成价格，就得到一条向右拖长尾巴、永不触零的曲线。
要点
- 若ln(X)服从正态分布，则X服从对数正态分布。
- PDF非负且正偏，右尾更长，取值恒为正。
- 用于衡量资产价格，正态分布用于衡量收益率。
- 若X正态，则e^X服从对数正态分布。
常见误区
- 把价格直接用正态分布建模，忽略了价格不能为负。
- 把对数正态分布当成对称分布，忘记它是正偏的。
- 混淆“价格服从对数正态”与“收益率服从正态”两者的对应关系。
编者注
- 补充实务中常假设股票价格服从对数正态分布，因为价格不能为负，而其对数的变动即对数收益率可近似服从正态分布。