概念进阶抽样估计与假设检验
中心极限定理
也叫：central limit theorem、CLT
样本量够大时，样本均值近似服从正态分布。
核心讲解
中心极限定理说：对任意均值为μ、方差为σ²的总体，若做简单随机抽样、样本容量为n，当n足够大（通常要求n≥30）时，样本均值近似服从均值为μ、方差为σ²/n的正态分布。
它有三个条件：抽样必须是简单随机抽样；总体的均值与方差都有限、不为无穷大；样本容量超过30。对应的三个结论是：样本均值服从正态分布、其均值为μ、其方差为σ²/n。
要特别注意方差是σ²/n而不是σ²。样本均值是n个数求平均后的变量，经过平均这一步已经变得更平滑，所以它的方差一定低于总体本身的方差，样本量越大越集中。
这个定理的价值在于“条件弱、结论强”：无论总体原本是什么分布，只要满足那三个条件，样本均值就近似正态。正因如此，它成为置信区间与假设检验这两大工具的理论地基。
费曼版：用大白话再讲一遍
把全班每个同学的身高单独看，高矮五花八门，形状很不规则。可如果你不断随机抽十个同学、二十个同学求平均，这些“平均身高”的分布会越来越像一口钟。样本越大，这口钟越标准，中心极限定理讲的就是这件事。
要点
- 三个条件：简单随机抽样、均值方差有限、样本容量n≥30。
- 三个结论：样本均值近似正态，均值为μ，方差为σ²/n。
- 样本均值的方差是σ²/n，比总体方差小。
- 条件弱而结论强，是置信区间与假设检验的基础。
常见误区
- 把样本均值的方差记成σ²，忘了要除以n。
- 以为总体本身必须服从正态分布，其实总体可以是任意分布。
- 忽略n≥30这个常用门槛，在小样本下也套用正态近似。