方法进阶概率论与随机变量
贝叶斯公式
也叫：Bayes Formula、Bayes' Theorem
用新信息B把A的先验概率更新为后验P(A|B)。
核心讲解
贝叶斯公式是：P(A|B)=P(A)P(B|A)÷[P(A)P(B|A)+P(Aᶜ)P(B|Aᶜ)]。分子来自乘法法则，分母由全概率公式给出。这个公式由英国数学家托马斯·贝叶斯提出，日后对统计学发展影响深远。
它的含义是“用新信息修正旧判断”。我们把 P(A) 称为先验概率，把 P(A|B) 称为后验概率：先有一个初始判断，再得到新信息B，就据此更新这个判断。贝叶斯公式正是完成这次更新的算法。
书里的测谎仪例子把过程展示得很清楚。已知嫌犯撒谎的先验概率0.7；撒谎时测谎仪测出“撒谎”的概率0.9；没撒谎却被测出“撒谎”的概率0.2。于是：撒谎且被测出撒谎=0.7×0.9=0.63，没撒谎却被测出撒谎=0.3×0.2=0.06。已知测出“撒谎”时，真正撒谎的后验概率=0.63÷(0.63+0.06)≈0.913。可见即使有误差，多次修正后的判断也能相当可靠。
费曼版：用大白话再讲一遍
你原本觉得“明天会下雨”的把握不大，这就是先验。忽然看见乌云压顶，你把这把握往上调——这就是用新证据更新后的后验。贝叶斯公式就是“看到新证据后，旧估计该怎么改”的算法。
要点
- P(A|B)=P(A)P(B|A)÷P(B)，分母用全概率公式。
- P(A)是先验概率，P(A|B)是后验概率。
- 用新信息更新旧的判断。
- 例：测谎仪后验概率≈0.913。
常见误区
- 把P(A|B)与P(B|A)直接等同，忽略先验。
- 忘记分母P(B)要用全概率公式展开。
- 把先验与后验的位置写反。