几何平均优于算术平均

核心讲解

作者用一个过河比喻说明：如果一条河的平均深度是4英尺，你也千万不要下水过河——因为"平均4英尺"背后，可能藏着几米深的深坑，一脚踩空就没顶。同理，面对一个会重复进行、且涉及本金盈亏的赌局，只看算术平均收益是危险的。原因在于，财富是乘性增长的：一次亏50%，需要下次赚100%才能回本，涨跌并不对称。真正决定你长期财富的，不是各次收益的算术平均，而是把各期收益连乘起来的几何平均，也就是你的财富复合增长率。作者主张，在有爆仓风险的重复决策里，应当盯着几何增长率，而不是纸面的算术期望。这与伯努利的对数效用、后来的凯利准则一脉相承书外。举个例子：一年赚50%、一年亏50%，算术平均是0%，但两年后你的本金是1.5乘0.5=0.75，实际亏了25%——几何平均才说真话。现实中评估任何会反复进行的投资，都该看它长期复合下来是涨是跌。

要点

• 财富是乘性增长，涨跌并不对称
• 决定长期结果的是几何平均
• 算术平均会掩盖深坑和爆仓
• 赚50%再亏50%实际亏约25%

常见误区

• 用算术平均收益评估长期投资
• 以为涨跌百分比可以简单相加
• 忽略一次大亏需要多倍盈利才能回本

编者注

• 观点作者认为重复乘性博弈应看几何平均；萨缪尔森1971年则反驳说，最大化几何平均并非对所有投资者都最优，不同效用函数的人选择不同。

多方视角

作者的看法

在重复的、有爆仓风险的情形下，应看时间平均即财富的几何增长率，而不是纸面的算术平均。

不同的看法

• 萨缪尔森1971年发表论文反驳"最大化几何平均"，认为它并不是对所有投资者都成立的最优准则，风险偏好不同的人选择会不同。

支持作者的理由

• 凯利1956年以及索普等人的研究支持长期复合增长率最大化的思路，尤其在有破产风险时。